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De Escalar a Vectorial: El Desafío de los Sistemas No Lineales
MATH007Lesson 10
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Pasando de una única ecuación $f(x)=0$ a un sistema multivariable es la clave para resolver problemas de ingeniería complejos, desde mecánica orbital hasta análisis estructural del suelo. Ya no buscamos un cero sencillo sobre una línea, sino la intersección simultánea de $n$ hipersuperficies en un espacio de $n$ dimensiones.

1. La Estructura Matemática

Un sistema no lineal se representa como un conjunto de ecuaciones donde cada función componente depende de un vector de incógnitas $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^t$:

$$f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$\vdots$$ $$f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$

Condensamos esto en la forma vectorial fórmula clave:

$$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$$

donde $\mathbf{F} = (f_1, f_2, \dots, f_n)^t$. Las funciones individuales $f_i$ se designan como las funciones coordenadas de $\mathbf{F}$.

2. Fundamentos Analíticos y Continuidad

Para resolver estos sistemas numéricamente, debemos asegurarnos de que el mapeo sea bien comportado. Las definiciones 10.1–10.3 establecen que los límites y la continuidad en $\mathbb{R}^n$ se determinan por componentes.

Definición 10.3

Sea $\mathbf{F}$ una función de $D \subset \mathbb{R}^n$ hacia $\mathbb{R}^n$. Decimos que $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} \mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{L} = (L_1, L_2, \dots, L_n)^t$ si y solo si:

$$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f_i(\mathbf{x}) = L_i$$ para cada $i=1, \dots, n$.

Utilizando la definición $\epsilon-\delta$: para todo $\epsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que $\|\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{L}\| < \epsilon$ siempre que $0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta$.

Error común: Independencia de la Norma
Matiz crítico: Aunque se pueden utilizar diversas normas ($\ell_1, \ell_2, \ell_\infty$), la continuidad es independiente de la elección específica. La existencia de un límite es invariante bajo cualquier norma vectorial en $\mathbb{R}^n$.

3. Repaso Teórico

Teorema 1.6: Para funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$, la continuidad a menudo puede demostrarse mostrando diferenciabilidad. En el caso multivariable, si las derivadas parciales de las funciones coordenadas existen y están acotadas, la continuidad está asegurada, lo cual es un requisito previo para los solucionadores iterativos.

Ejemplo clásico: Ejemplo 1

Considere el problema de placas circulares sobre el suelo. Coloque el sistema no lineal de $3 \times 3$ en la forma estándar $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$:

  1. $3x_1 - \cos(x_2 x_3) - \frac{1}{2} = 0$
  2. $x_1^2 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin x_3 + 1.06 = 0$
  3. $e^{-x_1 x_2} + 20x_3 + \frac{10\pi - 3}{3} = 0$

Aquí, $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^t$ y $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), f_3(\mathbf{x}))^t$.